Fractales y la dimensión fractal de la línea de costa de México

Por J. Jimenez

Un fractal es una forma geométrica que consiste en una estructura que se repite a si misma a cualquier escala que se le observe. El término fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

La característica básica de un fractal es la autosemejanza. Los fractales son, al mismo tiempo, muy complejos y particularmente simples. Son complejos en virtud de su detalle infinito y sus propiedades matemáticas únicas; sin embargo, son simples por que pueden ser generados por la aplicación sucesiva de una simple iteración, y en la introducción de elementos aleatorios. Por lo que, su forma es especificada por un algoritmo iterativo que instruye como construir el objeto. Por ejemplo, consideremos el conocido fractal “curva de Koch”, el algoritmo para generarlo es añadir repetidamente un triangulo equilátero en cada uno de sus bordes, triangulo en el cual sus lados corresponden a un tercio del largo del borde (Ver la siguiente figura, nótese el parecido a un copo de nieve). El perímetro de la curva de Koch aumenta por 4/3 a cada iteración, así en teoría, al hacer n-infinitas iteraciones su perímetro se hace infinitamente largo. Imagine si quisiera recorrerse idealmente con un lápiz toda la curva que comprende este perímetro, no se llegaría jamás al final, aun cuando encierra una figura hexagonal de área perfectamente limitada.

Los fractales aparecen en la Naturaleza con bastante frecuencia, mostrando su escalada autosemejanza, por ejemplo, en plantas, árboles, nubes, montanas, líneas costeras, en los copos de nieve, en el sistema vascular de la circulación sanguínea, etc. Como ejemplo, los copos de nieve y un brócoli tipo Romanesco.

Un concepto matemático interesante en el campo de los fractales es su dimensión de auto-semejanza. La gran mayoría de nosotros estamos familiarizados con las provenientes de la geometría Euclidiana de la instrucción que recibimos en la escuela. Su legado es que el espacio tiene 3-dimensiones, un plano tiene 2, y un punto tiene cero. En nuestra vida diaria es común concebir estos objetos bidimensionales: por ejemplo, un mapa, que para propósitos prácticos es bidimensional. Nosotros vivimos en un mundo tridimensional, lo que quiere decir que necesitamos tres números para situar un punto: por ejemplo, longitud, latitud y altitud. Por ello estamos acostumbrados a tratar con puntos, líneas, áreas y volumenes.

Para entender mejor el carácter de dimensión hagamos el siguiente ejercicio: Tomemos un segmento de línea de largo 1 metro (m), un cuadrado de área 1 m² y un cubo de volumen 1 m³. La dimensión fractal, D, como veremos es una generalización de la dimensión Euclidea. Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud o razón de escala {r} obtendremos N(r) partes, (N(r), significa N es función de r), entonces como se muestra en la siguiente figura:

Para la línea Nr¹=1; para el cuadrado, Nr²=1; y para el cubo, Nr³=1. Por ejemplo, para clarificar la idea tomemos el cuadrado dividido en 4 partes autosemejantes, N=4, r=1/2, esto implica, 4*(1/2)²=1. Para el cubo dividido en 8 partes autosemejantes, N=8, r=1/2, esto implica 8*(1/2)³=1. Por convención tomemos al exponente como {D}. En general, Nr^D=1, entonces en forma logarítmica

D=log N / log(1/r)

Al tomar el limite cuando r tiende a cero (como esperaríamos para un fractal)

D= lim_r-0 {log N / log(1/r)}

Es la llamada dimensión fractal Hausdorff-Besicovitch.

Tomemos el fractal conocido como la curva de Koch en su versión lineal. Empecemos por un segmento de línea S₀. Para generar S₁, borremos la parte central de un tercio de S₀ y reemplazársele por otros dos lados de un triangulo equilátero. Subsecuentemente cada siguiente fase es generada recursivamente por la misma regla: S_n es obtenida reemplazando la parte central de cada segmento en S_n-1 por otros dos lados de un triangulo equilátero. El arreglo limite S_infinito es la curva de Koch [1].

Usando la definición de dimensión por autosemejanza, la curva esta compuesta de 4 piezas iguales, cada una similar a la original, pero escalada por un factor de 3 en ambas direcciones, por lo que tendremos que el numero de copias N=4 cuando el factor de escala 1/r =3, por lo que D=ln4/ln3= 1.26 . En sentido mas estricto, para la generación n-esima de la curva de Koch, r=r₀/3ⁿ, el numero de partes N es proporcional a 4ⁿ, igualmente usando la definición de dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch, D=1.26.

Esta es una característica muy interesante ya que D esta entre dimensión 1 y 2, de alguna manera satisfaciendo para una curva infinita, siendo mas que un objeto uni-dimensional.

Una aplicación interesante de este concepto viene de Mandelbrot, en su publicación, ¿Que tan larga es la Costa de Gran Bretaña?: Autosemejanza estadística y dimensión fractal [2]. Bien es sabido que la costa o el límite de cualquier país es irregular. Mandelbrot supuso que estas curvas geográficas son indefinibles en su largo por su fino detalle. Sin embargo, si presentara auto-semejanza, con lo que cada porción pudiera ser considerada una imagen de escala reducida del todo, el grado de complicación podría ser descrito por una dimensión fractal. Mandelbrot baso esta investigación en los estudios hechos por Richardson sobre mediciones de curvas geográficas por polígonos.

Por ejemplo si tenemos una línea de costa irregular, podemos empezar por medirla con una regla para obtener un estimado. El largo estimado, L(G), igual al largo de la regla, G, multiplicado por M, donde M es una constante. Es obvio que al ir disminuyendo el tamaño de la regla, el largo de la línea de costa aumentara debido a que estamos “adaptándonos” más a la irregularidad de la línea. Richardson observo que si hacemos un gráfico logarítmico del Largo medido vs. Largo de la escala usada (regla) esta tiene una relación lineal, como se muestra en la siguiente figura.

Richardson propuso una formula empírica de sus datos:

L(G)=MG^1-R

Donde R es una constante al menos igual a 1. R es característica a la línea de costa medida. Esta formula representa una función potencial.

Mandelbrot relaciono esta formula con la dimensión fractal con ello demostró que en esta curva log-log un escalamiento potencial lleva a estimar la dimensión fraccional de la línea de costa. Nota: L(G)=MG^1-R, es igual a, log L(G)=(1-R)log G + b, donde b=log M.

Por lo que (1-R) representa la pendiente y la dimensión fractal, D=R. R=1, representaría una frontera que luce recta en el mapa. Algunos datos: Gran Bretaña que luce irregular tiene R=1.25, España y Portugal R=1.14, Australia R=1.13, Sudáfrica R=1.02.

Con este análisis podemos calcular la dimensión fractal de la línea de costa de México, estimación que mostrare a continuación. Primero es necesario tener la referencia geográfica adecuada, para ello usaremos la base de datos del INEGI (Instituto Nacional de Geografía e Informática, México) la cual cuenta con un mapa digital e incluye la opción de medición de distancia. Haremos una tabla del largo estimado L(G) y de la escala usada, G, en kilómetros. Tres diferentes escalas fueron empleadas (lineas rojo-blanco en la frontera exterior, ver Figuras siguientes).

L(G) [km]	G [km]
8500	500
9900	300
11100	100

Posteriormente, realizamos una graficación log-log de los datos, y podemos hacer una aproximación por regresión lineal, de lo que obtenemos:

(1-R)=-0.156,

Por lo que R=1.156, siendo esta la dimensión fractal de la línea de costa de la Republica Mexicana. Note que la longitud estimada de la línea de costa de es de 11,100 km, muy cercano al valor oficial de 11,122 km.

Dimensión fractal de otros objetos son: Membrana pulmonar, D=2.9; Galaxias, D=1.23; Atractor de Lorenz, D=2.05; Turbulencia (disipación), D=2.5-2.6; Piramide del Sol (Teotihuacan), D=1.8882; Piramide de la Luna (Teotihuacan), D= 1.8993 [3].

Las aplicaciones de los fractales son muchas y científicos constantemente encuentran nuevas o descubren su presencia en la Naturaleza. ¿Qué otros fenómenos incluirán características fractales?, la búsqueda continua…

Referencias:
[1] Strogatz, S., Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus Books, 1994.
[2] Mandelbrot, B., How long is the Coast of Britain?: Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, Science, vol. 156, p.636-638,1967.
[3] Oleschko, K., Brambila, R., Brambila, F., Parrot, J-F., Lopez, P., Fractal Analysis of Teotihuacan México, Journal of Archaeological Science, vol. 27, p. 1007-1016, 2000.